（4） 发现二项式定理

牛顿数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理，这大概是牛顿的第一个伟大发现，但是牛顿在许多年内一直没有把它发表。据牛顿本人回忆，他是在1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯的《无穷算术》时，试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的。

杨辉三角

在牛顿之前人们就已经提出了二项式的展开式问题，例如二项式定理的系数规律在我国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪首创，而记载于1261年杨辉的《详解九章算法》书中。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在1527年出版的算术书的封面上刻有此三角图，但一般却称之为“帕斯卡三角”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果，并且帕斯卡的科学成就和名气都要更大。

但是牛顿以前的解决方法都是针对指数为正整数的情况，此时二项式展开后比较简单，是个项数有限的多项式。如果指数不是正整数，比如是分数，牛顿发现情况要复杂得多，此时二项式展开后变成一个项数无穷多的级数，他比较了当时已知的无穷递缩等比数列的求和公式后，发现级数的和会趋向于一个极限。二项式定理使牛顿开启了在分析中运用无穷级数的大门，并发展了极限概念、无穷小量概念，最终发展出微积分概念。因此，二项式定理的发现，对于牛顿创立微积分是必不可少的一步，而且在微积分发展的早期阶段，许多函数用它们的级数来处理是最有效的方法。

牛顿虽然发现了任意幂的二项式定理，但他只是验证了指数ｎ为分数的几种情况，按照欧几里得或阿基米德的概念来说，这还不是一条“定理”，因为牛顿没有提供完整和严格的证明。但是，牛顿的见识和直觉足以使他判断出一个恰当而准确的公式。1811年，高斯给出了二项式定理严格的证明，结果表明牛顿的判断是正确的。

二项式定理特例1

二项式定理特例2

二项式定理特例3

现在，二项式定理已经被推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，也是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。

【黄氏点评：】我们看到，二项式级数的研究是一个由特殊到普遍的外推方法，比如我们初中就知道（a+b）²和（a+b）³的展开公式，那么第一个外推步骤就是指数n为任意正整数的情况，即（a+b）ⁿ的展开公式，这个外推公式在牛顿之前就已经得到了。牛顿采取的是第二个外推步骤，即指数ｎ不是正整数，而是分数和负整数的情况。当然可能还有其他外推方法，比如三项式、四项式，等等。

在牛顿之前，法国的费马也从勾股定理a²+b²=c²，按第一个外推步骤研究指数n为任意正整数的情况，从而提出了费马猜想，即当n>2时，aⁿ+bⁿ=cⁿ不成立。当然费马猜想也可能还有其他外推方法，比如n为负数情况，或者是aⁿ+bⁿ+cⁿ=dⁿ、aⁿ+bⁿ+cⁿ+dⁿ=eⁿ，等等。

其实牛顿是从更实用的角度发现二项式定理的，那就是求圆面积方法。我们知道求圆面积是采用正多边形近似方法，那么圆面积对应于正多边形的边数就形成了一个级数，而且最终将细分为一个无穷级数。因此求圆面积方法和二项式定理就包含了一种原始的微分和极限思想，这是牛顿建立微积分的思想基础之一。

值得探讨的是，同一个二项式展开问题，中国在1261年前就由贾宪和杨辉提出了“杨辉三角”，比欧洲要早200多年，但从此后再无人深入研究过此问题。在欧洲则由阿皮安努斯到帕斯卡，再到牛顿，最后是高斯，从“帕斯卡三角”一路进展到二项式定理、求圆面积方法、无穷级数、极限和微积分。按照数学家希尔伯特的说法，二项式展开问题在欧洲就是“一只下金蛋的母鸡”，遗憾的是，这只“母鸡”在中国没下金蛋。这说明了什么？

首先说明了科学研究在中国缺少传承性，某个科学问题可能某个学者探索过，此后就再无人问津。比如求圆周率和求圆面积方法在数学中也可以说是“下金蛋的母鸡”，但是在中国，祖充之以后就好象没有人再深入研究这个问题了。

其次说明了在中国很少出过科学研究方面的大家。金蛋是怎么下出来的？是在牛顿、高斯这样的大家手上下出来的！这些科学大家手上有多少个金蛋？看看前面牛顿的科学成就我们就会明白。与牛顿、高斯这样的科学大家相比，我们祖先的科学成就还是显得有些肤浅和渺小。中国在宋朝以前还能够出杨辉和祖充之这样的当时世界级的科学家，但是他们的成就后世却无人传承发展。现代陈景润虽然能够做出世界一流的数学成就，但是目前还没有看到应用和传承发展前景。钱学森可以说是一位科学大家，但他主要是美国培养的。袁隆平可以说是我国自己培养的科学大家。现在清华大学和北京大学只能说是中国的一流大学，但是在世界上却排不上名，因为他们没有世界一流的科学大师和成就。

 (未完待续)