（5） 创立微积分

微积分包括微分和积分，它成为一门学科主要归功于十七世纪的牛顿和莱布尼茨，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了。比如公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究抛物形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积等问题时，就隐含着积分学的思想。在微分学方面，古希腊也发展了一些求解无穷小和极限问题的技巧。我国古代对于无穷小和极限问题也有比较清楚的论述，比如庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的微分和极限概念。

【黄氏点评：】中国古代的科学研究可能存在几个很大的问题：第一、主要的科学思想不是产生于工程需求，而工程建设又没有建立起相应的科学理论，显示出科学与实际应用的脱节。第二、科学研究显得简单和肤浅，每个学者几乎都只是研究单个的问题，不能形成欧几里得和阿基米德这样的学科体系。第三、科学思想是孤立的个人行为，没有传承和发展，也没有善于总结的科学大师。第四、缺少符号表达方式，表述语言深奥难懂。第五、学而优则仕，有才能的人都热衷于做官和吟诗作赋，科学研究被认为是雕虫小技，从事科学研究又苦又没有社会地位。

这些问题彼此相互影响，比如因为没有好的符号描述，一个科学理论就不容易被别人继承发展；又因为缺少优秀的人才献身于科学研究，其他每个问题都会受到影响，因为人是最根本的因素。再比如，我们总是说到中国古代的四大发明，可是有哪个发明被深入研究过？形成过什么系统的科学理论？这些问题可能是中国科技远远落后于西方的主要原因，有些问题仍然是影响现代中国科技发展的因素。

到十七世纪，科学界已经积累了许多具体的问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪，至少有十多位著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、沃利斯；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出了许多很有建树的理论，他们为微积分的创立奠定了基础。到十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国的牛顿和德国的莱布尼茨分别独自完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作，但他们两人确实超越了前人，达到了顶峰。

牛顿、莱布尼茨的最大功绩在于站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，把上述几类问题总结为两个最核心的问题：一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题），由此统一成微分和积分两类普通的算法，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步。他们敏锐的从孕育微积分的各种“个例问题”中洞察和清理出潜藏着的共性的东西——无穷小量，并把它提升和确立为数学理论，因此微积分早期也称为无穷小分析，这也正是数学分析名称的来源。也就是说，牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，只是牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑。

【黄氏点评：】这里再次注意科技发展的传承性，我们看到，牛顿和莱布尼茨创立的微积分是源自于古希腊求解无限小和极限问题，并且经历了多位重要科学家的添砖加瓦才总结发展起来的。伽利略的很多研究也是批判古希腊亚里士多德的思想而继承和发展阿基米德的思想，整个欧洲科学技术的发展都是从古希腊科学思想一路传承下来的。这方面可以举出很多具体传承发展的案例。牛顿说站在巨人的肩膀上，这不仅仅是一种谦虚，更是一种值得我们学习和探讨的“传承、总结和发展”的研究方法，是一种通用、有效的科学研究方法。

本人在做物理研究时，应用这种“传承、总结和发展的研究方法”也获得了一些好的经验，比如我在大学三年级学习原子物理的时候，就发现我国学者吴有训在1926年做的一个X射线散射的实验结果不能用康普顿效应的公式解释。于是我对这个问题进行了长时间的深入研究，最后至少生出了4个金蛋：一是侠义相对论碰撞理论的深入研究；二是类比于X射线散射的康普顿效应，提出电子束散射的康普顿效应；三是发现爱因斯坦的侠义相对论是一维的，并在此基础上建立了二维侠义相对论；四是提出侠义相对论质量公式角度因素疑难。目前这4个金蛋理论方面的工作都已经完成，但是实验验证可能还是个长期的工作。

我就感觉吴有训一流的实验结果在我这里有个很好的传承，并且由此发展出新的物理理论，预测了新的物理效应。这就是“传承、总结和发展”研究方法的应用。中国历史上很少有这样传承发展的案例，这是中国科技落后的原因之一。

这启发我们，如何继承、总结和发展全世界几千年时间积累下来的科技、社会、人文、教育、经济、军事等方面的优秀成果，将是摆在我国学术界面前的一个庞大而重要的研究课题，这对国家今后的发展具有参考价值。学术研究的目的在于保证人类所有的优秀成就都能够被我们所继承和发展，司马迁写《史记》和宋朝司马光写《资治通鉴》其实也是出于同样的考虑。我写《物理通史点评》也是希望能够在科技方面做出初步尝试。

在牛顿之前，几何学上的一个重要进展是笛卡尔创建的解析几何，这样就把描述运动的函数关系和几何曲线联系了起来。牛顿最初希望从万有引力定律导出开普勒行星运动三定律，他最终在钻研笛卡尔解析几何的基础上找到了新的出路：可以把任意时刻的速度看作是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值。这就是微分的概念，牛顿称之为“正流数”，求微分相当于求时间和路程关系在某点的切线斜率。一个变速的运动物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的和，这就是积分的概念，牛顿称之为“反流数”。求积分相当于求时间和速度关系曲线下面的面积。牛顿就是从这些基本概念出发，一举解决了运动问题，并且创立了这种与物理概念直接联系的数学理论——“流数术”，即微积分，这是牛顿最卓越的数学成就。

【黄氏点评：】笛卡尔创建的解析几何是微积分发展的重要基础，据说笛卡尔是牛顿的偶像。

1665年，牛顿在他的手稿里第一次提出了“流数术”，但是他没有正式发表出来。形成牛顿“流数术”理论的主要有三个著作：《应用无穷多位方程的分析学》、《流数术和无穷级数》和《曲边形的面积》。其中《流数术和无穷级数》写于1671年，但直到1736年才出版，他在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。1687年牛顿出版的划时代名著《原理》虽然是研究力学的，但对数学史非常重要，这不仅因为其中提出的微积分问题激励着他自己去研究和探索，而且书中对许多问题提出的新课题和研究方式，也为后来微积分的研究打下了基础。

(未完待续)

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